Red de Flujo y Filtración

Teoría: Filtración

Cómo fluye el agua por el suelo bajo una estructura, cómo la dibuja una red de flujo, y cómo se obtienen de ella la filtración, el gradiente de salida, el levantamiento y la subpresión.

Ley de Darcy

El agua fluye por el suelo de mayor a menor carga total, a un ritmo proporcional al gradiente. La carga total es la cota más la carga de presión; la velocidad del flujo es tan baja que se omite la carga de velocidad.

v = k\, i

v: velocidad de descarga · k: permeabilidad · i: gradiente hidráulico · u: presión de poros

Ecuación de Laplace

En flujo permanente, lo que entra en un elemento pequeño sale de él. Con la ley de Darcy, la carga en un suelo homogéneo obedece la ecuación de Laplace. Su solución fija dos familias de curvas: las equipotenciales, de igual carga, y las líneas de flujo, que sigue el agua. En un suelo isótropo se cruzan en ángulo recto.

k_h \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} + k_v \frac{\partial^2 h}{\partial y^2} = 0

k_h, k_v: permeabilidad horizontal y vertical

Redes de flujo

Una red de flujo dibuja las equipotenciales con caídas iguales de carga y las líneas de flujo con partes iguales del caudal, de modo que forman cuadrados curvilíneos. N_f canales llevan entonces el caudal a través de N_d caídas, y la filtración se obtiene solo de la forma de la red.

q = k\, \Delta H\, \frac{N_f}{N_d}

q: filtración por metro de estructura · ΔH: carga perdida de aguas arriba a aguas abajo. N_f no tiene que ser entero

El terreno bajo el agua aguas arriba y aguas abajo son equipotenciales, a h₁ y h₂.
El contorno enterrado de la estructura y la base impermeable son líneas de flujo.
Donde k_h ≠ k_v, la red se dibuja en una sección reducida horizontalmente por √(k_v/k_h), y el caudal usa k′ = √(k_h k_v).

Gradiente de salida y sifonamiento

Donde el agua sale del terreno aguas abajo, empuja el suelo hacia arriba. Cuando el gradiente ascendente alcanza el crítico, la tensión efectiva se anula y la arena hierve; la erosión avanza entonces hacia atrás bajo la estructura, el sifonamiento. El gradiente de salida se toma en el último cuadrado de la red, en el punto de salida.

i_{\mathrm{salida}} = \frac{\Delta H / N_d}{l}

l: longitud del último cuadrado a lo largo del flujo · γ′ = γ_sat − γ_w. Harr sugiere un FS de 3 a 4

Levantamiento

Terzaghi halló que el suelo junto a una tablestaca se levanta como un prisma de unos D de profundidad y D/2 de ancho. El empuje del agua sobre su base, por el exceso de carga medio allí, se compara con el peso sumergido del prisma.

\mathrm{FS} = \frac{\gamma' D}{\gamma_w\, h_a}

h_a: carga media sobre el nivel aguas abajo en la base del prisma, en la punta de la tablestaca

Subpresión

Bajo un azud, la presión del agua empuja hacia arriba la base. Un dentellón en el talón quita carga antes de que el agua llegue a la base y reduce la subpresión; uno en el pie la aumenta, pero protege la salida.

u = \gamma_w\,(h - y)

U: subpresión por metro de azud, sobre su base

Referencias

Terzaghi, K. Theoretical Soil Mechanics. New York: Wiley, 1943.
Harr, M. E. Groundwater and Seepage. New York: McGraw-Hill, 1962.
Lane, E. W. Security from under-seepage: masonry dams on earth foundations. Transactions of the ASCE, v. 100, p. 1235–1272, 1935.
Cedergren, H. R. Seepage, Drainage, and Flow Nets. 3.ª ed. New York: Wiley, 1989.
Das, B. M.; Sobhan, K. Principles of Geotechnical Engineering. 9.ª ed. Boston: Cengage, 2018.

Introduce la sección — el estrato permeable, una tablestaca, un azud o ambos —, los niveles de agua a cada lado y la permeabilidad del suelo para dibujar la red de flujo y obtener el caudal de filtración, el gradiente de salida, la seguridad frente a sifonamiento y levantamiento, y la subpresión.

Sección

Estrato permeable, TmTablestaca, DmBase del azud, Bm

D es la profundidad a la que llega la tablestaca en el terreno y B el ancho del azud; 0 si no hay, pero no ambos.

Agua

Aguas arriba, h₁mAguas abajo, h₂m

Profundidades de agua sobre el terreno. La carga perdida en el suelo es ΔH = h₁ − h₂.

Suelo

k_hm/sk_vm/sγ_satkN/m³

Permeabilidad horizontal y vertical; 2e-5 se lee como 2 × 10⁻⁵. Un suelo estratificado suele ser de 2 a 10 veces más permeable a lo largo de sus capas.

Red de flujo y diseño

Caídas, N_d

FS requerido, sifonamientoFS requerido, levantamiento

N_d fija cuántas caídas equipotenciales dibuja la red de flujo; los resultados no dependen de él, salvo el gradiente de salida. Frente al sifonamiento suele pedirse un FS de 3–4, frente al levantamiento de 1,5–2.

Flujo permanente y confinado en un estrato homogéneo sobre una base impermeable, que se extiende 3T más allá de la estructura a cada lado. El azud es impermeable y se apoya en el terreno; la tablestaca no tiene espesor.
La ecuación de Laplace se resuelve por volúmenes finitos en una malla de unas 32 celdas en el espesor del estrato, por gradientes conjugados; las líneas de flujo salen de la función de corriente, las equipotenciales de la carga.
El gradiente de salida es el de la red de flujo, en su último cuadrado: ΔH/N_d sobre la profundidad a la que llega la primera equipotencial bajo el punto de salida. El levantamiento sigue el prisma D × D/2 de Terzaghi junto a la tablestaca, cuando el agua sale junto a ella.
Las cargas se miden desde el terreno; x desde el talón del azud, o desde la tablestaca si no hay azud; y hacia arriba desde el terreno. Caudal y fuerzas por metro de estructura, γ_w = 9,81 kN/m³.
El 3D es una ilustración: el perfil en U de las tablestacas (0,4 m de fondo, pares de 1,2 m) las muestra como construidas, pero no se diseña aquí; las líneas de flujo en sus extremos son las de la red de flujo.