Rede de Fluxo e Percolação

Teoria: Percolação

Como a água percola pelo solo sob uma estrutura, como a rede de fluxo a representa, e como a vazão, o gradiente de saída, o levantamento de fundo e a subpressão decorrem dela.

Lei de Darcy

A água percola pelo solo da maior carga total para a menor, a uma vazão proporcional ao gradiente. A carga total é a altimétrica mais a piezométrica; a velocidade do fluxo é tão baixa que a carga cinética é desprezada.

v = k\, i

v: velocidade de descarga · k: coeficiente de permeabilidade · i: gradiente hidráulico · u: poropressão

Equação de Laplace

Em fluxo permanente, o que entra em um elemento sai dele. Com a lei de Darcy, a carga em um solo homogêneo obedece à equação de Laplace. A sua solução define duas famílias de curvas: as equipotenciais, de mesma carga, e as linhas de fluxo, que a água percorre. Em um solo isotrópico elas se cruzam em ângulo reto.

k_h \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} + k_v \frac{\partial^2 h}{\partial y^2} = 0

k_h, k_v: permeabilidade horizontal e vertical

Redes de fluxo

A rede de fluxo traça as equipotenciais em quedas iguais de carga e as linhas de fluxo em parcelas iguais da vazão, de modo que formem quadrados curvilíneos. N_f canais conduzem então a vazão por N_d quedas, e a vazão decorre só da forma da rede.

q = k\, \Delta H\, \frac{N_f}{N_d}

q: vazão por metro de estrutura · ΔH: carga dissipada de montante a jusante. N_f não precisa ser inteiro

O terreno sob a água a montante e a jusante são equipotenciais, com cargas h₁ e h₂.
O contorno enterrado da estrutura e a base impermeável são linhas de fluxo.
Quando k_h ≠ k_v, a rede é traçada em uma seção transformada, encurtada na horizontal por √(k_v/k_h), e a vazão usa k′ = √(k_h k_v).

Gradiente de saída e piping

Onde a água emerge do terreno a jusante, ela empurra o solo para cima. Quando o gradiente ascendente atinge o crítico, a tensão efetiva se anula e a areia ferve; a erosão então avança para baixo da estrutura, o piping. O gradiente de saída é tomado no último quadrado da rede, no ponto de saída.

i_{\text{saída}} = \frac{\Delta H / N_d}{l}

l: comprimento do último quadrado ao longo do fluxo · γ′ = γ_sat − γ_w. Harr sugere FS de 3 a 4

Levantamento de fundo

Terzaghi observou que o solo junto a uma cortina se levanta como um prisma de cerca de D de altura e D/2 de largura. O empuxo da água na sua base, pelo excesso de carga médio ali, é comparado ao peso submerso do prisma.

\mathrm{FS} = \frac{\gamma' D}{\gamma_w\, h_a}

h_a: carga média acima do nível de jusante na base do prisma, na ponta da cortina

Subpressão

Sob uma barragem, a pressão da água empurra a base para cima. Uma cortina a montante dissipa carga antes que a água chegue à base e reduz a subpressão; uma a jusante a aumenta, mas protege a saída.

u = \gamma_w\,(h - y)

U: subpressão por metro de barragem, ao longo da base

Referências

Terzaghi, K. Theoretical Soil Mechanics. New York: Wiley, 1943.
Harr, M. E. Groundwater and Seepage. New York: McGraw-Hill, 1962.
Lane, E. W. Security from under-seepage: masonry dams on earth foundations. Transactions of the ASCE, v. 100, p. 1235–1272, 1935.
Cedergren, H. R. Seepage, Drainage, and Flow Nets. 3. ed. New York: Wiley, 1989.
Das, B. M.; Sobhan, K. Fundamentos de Engenharia Geotécnica. São Paulo: Cengage, 2019.

Informe a seção — a camada permeável, uma cortina de estacas-prancha, uma barragem ou ambas —, os níveis d'água de cada lado e a permeabilidade do solo para traçar a rede de fluxo e obter a vazão, o gradiente de saída, a segurança contra piping e levantamento de fundo, e a subpressão.

Seção

Camada permeável, TmCortina, DmBase da barragem, Bm

D é a ficha da cortina no terreno e B a largura da base da barragem; 0 para nenhuma, mas não ambas.

Água

Montante, h₁mJusante, h₂m

Lâminas d'água sobre o terreno. A carga dissipada no solo é ΔH = h₁ − h₂.

Solo

k_hm/sk_vm/sγ_satkN/m³

Permeabilidade horizontal e vertical; 2e-5 lê-se 2 × 10⁻⁵. Um solo estratificado costuma ser de 2 a 10 vezes mais permeável ao longo das camadas.

Rede de fluxo e projeto

Quedas, N_d

FS exigido, pipingFS exigido, levantamento

N_d define quantas quedas de potencial a rede traça; os resultados não dependem dele, exceto o gradiente de saída. Contra piping costuma-se exigir FS de 3–4, contra levantamento de fundo 1,5–2.

Fluxo permanente e confinado em uma camada homogênea sobre base impermeável, que se estende 3T além da estrutura de cada lado. A barragem é impermeável e se apoia no terreno; a cortina não tem espessura.
A equação de Laplace é resolvida por volumes finitos em uma malha de cerca de 32 células na espessura da camada, por gradientes conjugados; as linhas de fluxo vêm da função de corrente, as equipotenciais da carga.
O gradiente de saída é o da rede de fluxo, no seu último quadrado: ΔH/N_d sobre a profundidade que a primeira equipotencial atinge sob o ponto de saída. O levantamento de fundo segue o prisma D × D/2 de Terzaghi junto à cortina, quando a água sai por ela.
Cargas medidas a partir do terreno; x a partir do pé de montante da barragem, ou da cortina quando não há barragem; y para cima a partir do terreno. Vazão e forças por metro de estrutura, γ_w = 9,81 kN/m³.
O 3D é uma ilustração: o perfil em U das estacas-prancha (0,4 m de altura, pares de 1,2 m) mostra a obra como executada, mas não é dimensionado aqui; as linhas de fluxo nas pontas são as da rede de fluxo.