Círculo de Mohr y Criterio de Mohr-Coulomb

Teoría: Círculo de Mohr

Cómo cambian las tensiones en un punto del suelo con el plano, cómo las muestra el círculo de Mohr y cómo la envolvente de Mohr-Coulomb indica si el suelo falla y en qué plano.

Tensiones en un punto

En deformación plana, tres valores fijan las tensiones en un punto: las tensiones normales σ_x y σ_y en las caras vertical y horizontal de un elemento y el corte τ_xy entre ellas. De ellas se derivan las tensiones en cualquier plano que pase por el punto, girado θ desde el plano x:

\sigma_\theta = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos 2\theta - \tau_{xy} \sin 2\theta

Compresión positiva; θ en sentido antihorario desde el plano x

\tau_\theta = \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin 2\theta + \tau_{xy} \cos 2\theta

Positiva cuando hace girar el elemento en sentido antihorario

Como los suelos casi siempre están comprimidos, la mecánica de suelos toma la compresión como positiva, al contrario que la mecánica estructural.

Círculo de Mohr

Mohr mostró en 1882 que los pares (σ_θ, τ_θ) de todos los planos caen sobre un círculo de centro s y radio t:

s = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}

s: tensión media en el plano · t: corte máximo

Las caras vertical y horizontal son los puntos X (σ_x, τ_xy) e Y (σ_y, −τ_xy), en los extremos de un diámetro. Girar el plano θ gira su punto 2θ sobre el círculo, en el mismo sentido con los signos de esta página.

Tensiones principales

\sigma_1 = s + t

σ₁, σ₃: tensiones principales mayor y menor · θ₁: ángulo del plano sobre el que actúa σ₁

Los planos principales no tienen corte y son perpendiculares entre sí. El corte máximo, igual a t, actúa a 45° de ellos.

Criterio de Mohr-Coulomb

Coulomb propuso en 1776 que la resistencia al corte de un suelo crece con la tensión normal en el plano de falla. En tensiones efectivas:

\tau_f = c' + \sigma' \tan\phi'

c′: cohesión efectiva · φ′: ángulo de fricción efectivo

Mohr unió su círculo a esa recta: el suelo falla cuando el círculo toca la envolvente, y ningún estado de tensiones puede cruzarla. En la falla:

\sigma'_1 = \sigma'_3 \tan^2\left(45^\circ + \frac{\phi'}{2}\right) + 2c' \tan\left(45^\circ + \frac{\phi'}{2}\right)

La misma condición escrita con las tensiones principales

Esta página compara el radio del círculo con el del círculo del mismo centro tangente a la envolvente, R_f = (s + c′ cot φ′) sin φ′. La razón t / R_f es el nivel de tensión: 100% es la falla.

Plano de falla

El punto de tangencia está a 90° + φ′ sobre el círculo desde el punto de σ₁, así que el plano de falla forma 45° + φ′/2 con el plano sobre el que actúa σ₁ — a uno u otro lado, en un par de planos conjugados. Antes de la falla, estos son los planos críticos, cuyos puntos se acercan más a la envolvente.

El plano de falla no es el plano de corte máximo: en este, la tensión normal es mayor, y también la resistencia.

Limitaciones

El criterio vale en tensiones efectivas; con tensiones totales, usa los parámetros no drenados.
La deformación plana deja fuera la tensión principal intermedia σ₂, que el criterio de Mohr-Coulomb también ignora.
La envolvente real suele ser curva; la recta vale en el rango de tensiones al que se ajustaron c′ y φ′.
Con tensiones bajas o de tracción la cohesión aparente puede no existir, y el suelo puede fisurarse antes de tocar la envolvente.

Referencias

Coulomb, C. A. Essai sur une application des règles de maximis et minimis à quelques problèmes de statique, relatifs à l'architecture. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, v. 7, 1776.
Mohr, O. Über die Darstellung des Spannungszustandes und des Deformationszustandes eines Körperelementes. Civilingenieur, v. 28, 1882.
Lambe, T. W.; Whitman, R. V. Soil Mechanics. New York: Wiley, 1969.
Das, B. M.; Sobhan, K. Principles of Geotechnical Engineering. 9.ª ed. Boston: Cengage, 2018.

Introduce las tensiones efectivas en un punto del suelo en deformación plana — σ′_x, σ′_y y τ_xy — y los parámetros de resistencia c′ y φ′ para ver el círculo de Mohr, las tensiones principales, la envolvente de falla de Mohr-Coulomb y las tensiones en cualquier plano, dibujadas sobre el elemento de suelo.

Círculo de Mohr

σ₁: 212,1 kPa
σ₃: 67,9 kPa
Plano de σ₁: -73,2°
τ_máx: 72,1 kPa
Centro, s: 140,0 kPa

Por debajo de la envolvente

Nivel de tensión: 92%
Radio en la falla: 78,7 kPa
Planos críticos: -13,2° · 46,8°

Ángulo del plano, θ0,0°

El elemento gira θ en sentido antihorario desde el plano x (discontinuo). Las flechas que apuntan a las caras son compresión; las que se alejan, tracción.

σ′ en el plano: 80,0 kPa
τ en el plano: 40,0 kPa
Resistencia, c′ + σ′ tan φ′: 56,2 kPa
Factor de seguridad en el plano: 1,40

Tensiones en el punto

σ′_xkPaσ′_ykPaτ_xykPa

Compresión positiva. τ_xy actúa en las caras verticales y es positiva cuando las hace girar en sentido antihorario (hacia arriba en la cara derecha).

Resistencia

Cohesión efectiva, c′kPaÁngulo de fricción efectivo, φ′30°

Envolvente τ = c′ + σ′ tan φ′, en tensiones efectivas.

La compresión es positiva; un corte es positivo cuando el par en caras opuestas hace girar el elemento en sentido antihorario, y los ángulos se miden en sentido antihorario desde el plano x (la cara vertical). Así, un plano girado θ aparece en el círculo girado 2θ, en el mismo sentido, con τ hacia arriba. El nivel de tensión es el radio del círculo sobre el del círculo con el mismo centro tangente a la envolvente.