Círculo de Mohr e Critério de Mohr-Coulomb

Teoria: Círculo de Mohr

Como as tensões num ponto do solo variam com o plano, como o círculo de Mohr as representa e como a envoltória de Mohr-Coulomb diz se o solo rompe e em que plano.

Tensões num ponto

Em estado plano, três valores definem as tensões num ponto: as normais σ_x e σ_y nas faces vertical e horizontal de um elemento e o cisalhamento τ_xy entre elas. Com eles se obtêm as tensões em qualquer plano pelo ponto, girado θ a partir do plano x:

\sigma_\theta = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos 2\theta - \tau_{xy} \sen 2\theta

Compressão positiva; θ anti-horário a partir do plano x

\tau_\theta = \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sen 2\theta + \tau_{xy} \cos 2\theta

Positivo quando gira o elemento no sentido anti-horário

Como os solos quase sempre estão comprimidos, a mecânica dos solos toma a compressão como positiva, o contrário da mecânica estrutural.

Círculo de Mohr

Mohr mostrou, em 1882, que os pares (σ_θ, τ_θ) de todos os planos caem num círculo de centro s e raio t:

s = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}

s: tensão média no plano · t: maior cisalhamento

As faces vertical e horizontal são os pontos X (σ_x, τ_xy) e Y (σ_y, −τ_xy), nas pontas de um diâmetro. Girar o plano θ gira o ponto 2θ no círculo, no mesmo sentido com a convenção desta página.

Tensões principais

\sigma_1 = s + t

σ₁, σ₃: tensões principais maior e menor · θ₁: ângulo do plano onde age σ₁

Nos planos principais não há cisalhamento, e eles são perpendiculares entre si. O cisalhamento máximo, igual a t, age a 45° deles.

Critério de Mohr-Coulomb

Coulomb propôs, em 1776, que a resistência ao cisalhamento de um solo cresce com a tensão normal no plano de ruptura. Em tensões efetivas:

\tau_f = c' + \sigma' \tan\phi'

c′: coesão efetiva · φ′: ângulo de atrito efetivo

Mohr juntou a essa reta o seu círculo: o solo rompe quando o círculo toca a envoltória. Nenhum estado de tensões pode cortá-la. Na ruptura:

\sigma'_1 = \sigma'_3 \tan^2\left(45^\circ + \frac{\phi'}{2}\right) + 2c' \tan\left(45^\circ + \frac{\phi'}{2}\right)

A mesma condição escrita com as tensões principais

Esta página compara o raio do círculo com o do círculo de mesmo centro tangente à envoltória, R_f = (s + c′ cot φ′) sen φ′. A razão t / R_f é o nível de tensão: 100% é a ruptura.

Plano de ruptura

O ponto de tangência fica a 90° + φ′ do ponto de σ₁ no círculo, então o plano de ruptura faz 45° + φ′/2 com o plano onde age σ₁ — dos dois lados, num par de planos conjugados. Antes da ruptura, esses são os planos críticos, cujos pontos ficam mais perto da envoltória.

Note que o plano de ruptura não é o de cisalhamento máximo: neste, a tensão normal é maior, e a resistência também.

Limitações

O critério vale em tensões efetivas; com tensões totais, use os parâmetros não drenados.
O estado plano ignora a tensão principal intermediária σ₂, que o critério de Mohr-Coulomb também não considera.
A envoltória real costuma ser curva; a reta vale para a faixa de tensões em que c′ e φ′ foram ajustados.
Em tensões baixas ou de tração, a coesão aparente pode não existir, e o solo pode trincar antes de tocar a envoltória.

Referências

Coulomb, C. A. Essai sur une application des règles de maximis et minimis à quelques problèmes de statique, relatifs à l'architecture. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, v. 7, 1776.
Mohr, O. Über die Darstellung des Spannungszustandes und des Deformationszustandes eines Körperelementes. Civilingenieur, v. 28, 1882.
Lambe, T. W.; Whitman, R. V. Soil Mechanics. New York: Wiley, 1969.
Pinto, C. S. Curso Básico de Mecânica dos Solos. 3. ed. São Paulo: Oficina de Textos, 2006.

Informe as tensões efetivas num ponto do solo em estado plano — σ′_x, σ′_y e τ_xy — e os parâmetros de resistência c′ e φ′ para ver o círculo de Mohr, as tensões principais, a envoltória de ruptura de Mohr-Coulomb e as tensões num plano qualquer, desenhadas no elemento de solo.

Círculo de Mohr

σ₁: 212,1 kPa
σ₃: 67,9 kPa
Plano de σ₁: -73,2°
τ_máx: 72,1 kPa
Centro, s: 140,0 kPa

Abaixo da envoltória

Nível de tensão: 92%
Raio na ruptura: 78,7 kPa
Planos críticos: -13,2° · 46,8°

Ângulo do plano, θ0,0°

O elemento gira θ no sentido anti-horário a partir do plano x (tracejado). Setas apontando para as faces são compressão; para fora, tração.

σ′ no plano: 80,0 kPa
τ no plano: 40,0 kPa
τ resistente, c′ + σ′ tan φ′: 56,2 kPa
Fator de segurança no plano: 1,40

Tensões no ponto

σ′_xkPaσ′_ykPaτ_xykPa

Compressão positiva. τ_xy age nas faces verticais e é positivo quando as gira no sentido anti-horário (para cima na face direita).

Resistência

Coesão efetiva, c′kPaÂngulo de atrito efetivo, φ′30°

Envoltória τ = c′ + σ′ tan φ′, em tensões efetivas.

Compressão positiva; o cisalhamento é positivo quando o par nas faces opostas gira o elemento no sentido anti-horário, e os ângulos são anti-horários a partir do plano x (a face vertical). Assim, um plano girado θ aparece no círculo girado 2θ, no mesmo sentido, com τ para cima. O nível de tensão é o raio do círculo dividido pelo do círculo tangente à envoltória com o mesmo centro.