Empuje de Tierras sobre Muros

Teoría: Empuje de Tierras

De dónde viene la presión lateral sobre un muro, en qué difieren el estado en reposo y los estados activo y pasivo de Rankine y Coulomb, y cómo entran en ellos la cohesión, el agua y una sobrecarga.

En reposo, activo y pasivo

La tensión horizontal en el terreno es una fracción K de la tensión vertical efectiva. Un muro que no se mueve la mantiene en reposo; uno que cede alejándose del suelo la deja caer al estado activo, la mínima que el suelo puede soportar antes de fallar; uno empujado contra el suelo la eleva al estado pasivo, la máxima. Poco movimiento lleva al estado activo, alrededor de 0,1–0,4% de la altura en arena; el estado pasivo necesita diez veces más o más.

\sigma'_h = K\, \sigma'_v

σ′_v: tensión vertical efectiva, γz + q por encima del nivel freático

En reposo

Jaky (1944) relacionó K₀ con el ángulo de fricción de un suelo normalmente consolidado. La sobreconsolidación lo aumenta, como hallaron Mayne y Kulhawy (1982), y la EN 1997-1 lo aumenta de nuevo bajo un relleno que sube desde el muro.

K_0 = (1 - \sin\phi')\, \mathrm{OCR}^{\sin\phi'} (1 + \sin\beta)

Se usa en muros que no pueden ceder: muros de sótano, muros apuntalados o muy rígidos

Rankine

Rankine (1857) supuso que el suelo detrás de un trasdós vertical liso falla en toda su masa, con la tensión en cualquier plano vertical dada por el círculo de Mohr en la falla. En un relleno horizontal:

\sigma'_a = K_a \sigma'_v - 2c' \sqrt{K_a}

K_a = tan²(45° − φ′/2) · K_p = tan²(45° + φ′/2) = 1/K_a

La cohesión pone la parte superior de la zona activa en tracción hasta z_c, donde se abre una grieta; el empuje se toma de la tensión por debajo de ella. En un relleno inclinado β, la tensión en un plano vertical es paralela al terreno:

K_{a,p} = \cos\beta\, \frac{\cos\beta \mp \sqrt{\cos^2\beta - \cos^2\phi'}}{\cos\beta \pm \sqrt{\cos^2\beta - \cos^2\phi'}}

Para c′ > 0 y una pendiente, Mazindrani y Ganjali (1997) obtuvieron la tensión, que toma las formas anteriores en terreno horizontal

Coulomb

Coulomb (1776) estudió una cuña de suelo que desliza sobre un plano por el talón, con fricción en el trasdós del muro. El empuje activo es el mayor que necesita cualquier cuña; el pasivo, el menor. Para un trasdós a θ de la vertical, fricción muro-suelo δ y un relleno a β:

K_a = \frac{\cos^2(\phi' - \theta)}{\cos^2\theta \cos(\delta + \theta) \left[1 + \sqrt{\dfrac{\sin(\delta + \phi') \sin(\phi' - \beta)}{\cos(\delta + \theta) \cos(\theta - \beta)}}\right]^2}

P_a = ½K_aγH², a δ de la normal al trasdós

K_p = \frac{\cos^2(\phi' + \theta)}{\cos^2\theta \cos(\delta - \theta) \left[1 - \sqrt{\dfrac{\sin(\phi' + \delta) \sin(\phi' + \beta)}{\cos(\delta - \theta) \cos(\theta - \beta)}}\right]^2}

P_p = ½K_pγH²

Con θ = δ = β = 0 los K_a y K_p de Coulomb son los de Rankine. Su cuña plana sobrestima el empuje pasivo una vez que δ supera φ′/3 aproximadamente, ya que la superficie real es curva; una solución en espiral logarítmica o el valor de Rankine es entonces más seguro.

Agua y sobrecarga

Por debajo del nivel freático los coeficientes actúan sobre la tensión sumergida, γ′ = γ_sat − γ_w, y se suma la presión de agua completa u = γ_w(z − D_w): el agua no tiene K.
Una sobrecarga uniforme q suma q a σ′_v en todas las profundidades, un rectángulo Kq en el diagrama de presiones. En el trasdós inclinado de Coulomb entra como Kq cos θ cos β / cos(θ − β).

Empuje y su línea de acción

P_h = \int \sigma_h \, dz

Por metro de muro; ȳ es H/3 para un triángulo, H/2 para un rectángulo

El empuje horizontal y su altura sobre la base dan el momento de vuelco sobre el muro; la componente vertical, debida a la fricción muro-suelo y a un relleno o trasdós inclinado, lo ayuda a mantenerse.

Referencias

Coulomb, C. A. Essai sur une application des règles de maximis et minimis à quelques problèmes de statique relatifs à l'architecture. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, v. 7, p. 343–382, 1776.
Rankine, W. J. M. On the stability of loose earth. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, v. 147, p. 9–27, 1857.
Jaky, J. The coefficient of earth pressure at rest. Journal of the Society of Hungarian Architects and Engineers, v. 78, n. 22, p. 355–358, 1944.
Mayne, P. W.; Kulhawy, F. H. K0–OCR relationships in soil. Journal of the Geotechnical Engineering Division, ASCE, v. 108, n. GT6, p. 851–872, 1982.
Mazindrani, Z. H.; Ganjali, M. H. Lateral earth pressure problem of cohesive backfill with inclined surface. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE, v. 123, n. 2, p. 110–112, 1997.
EN 1997-1. Eurocode 7: Geotechnical design – Part 1: General rules. Brussels: CEN, 2004.
Das, B. M.; Sobhan, K. Principles of Geotechnical Engineering. 9.ª ed. Boston: Cengage, 2018.

Introduce el muro — altura, inclinación del trasdós y fricción muro-suelo — y la pendiente, sobrecarga, c′, φ′ y pesos unitarios del relleno para obtener el empuje lateral en reposo, activo y pasivo por Rankine y Coulomb, con el empuje de cada estado y dónde actúa.

Muro

Altura, HmInclinación del trasdós, θ0°Fricción muro-suelo, δ20°

θ es el ángulo del trasdós con la vertical, positivo cuando se inclina alejándose del relleno, como en un muro de gravedad. δ suele tomarse como ⅔φ′.

Relleno

φ′30°Pendiente, β0°Sobrecarga, qkPac′kPaγ (sobre el NF)kN/m³γ_sat (bajo el NF)kN/m³Nivel freático, D_wmγ_wkN/m³OCR

D_w se mide desde la coronación del muro; déjalo en blanco para un relleno seco. El OCR solo entra en K₀.

Rankine y el estado en reposo toman un trasdós vertical liso; θ y δ solo entran en Coulomb.

Con δ por encima de φ′/3 aproximadamente, la cuña plana de Coulomb sobrestima el empuje pasivo; el de Rankine es la cifra más segura.

Relleno homogéneo; los coeficientes actúan sobre la tensión vertical efectiva, y se le suma la presión del agua, hidrostática bajo el nivel freático.
En reposo es el K₀ = 1 − sin φ′ de Jaky, por OCR^{sin φ′} (Mayne y Kulhawy) y por 1 + sin β para un relleno inclinado (EN 1997-1), actuando horizontalmente.
Rankine toma un trasdós vertical liso, con la tensión paralela al terreno; c′ entra según Mazindrani y Ganjali, y la tracción activa por encima de la grieta se excluye del empuje.
Las cuñas de Coulomb toman un relleno sin cohesión, con el empuje a δ de la normal al trasdós; la sobrecarga entra como Kq cos θ cos β / cos(θ − β).
Empujes por metro de muro; P_v es positivo hacia abajo sobre el muro, y ȳ es la altura de la línea de acción de P_h sobre la base.
El 3D es una ilustración: el frente y la base del muro son el muro de gravedad de la sección, y sus mechinales (φ100 mm) lo muestran como construido, pero no se diseñan aquí.