Empuxo de Terra em Muros de Arrimo

Teoria: Empuxo de Terra

De onde vem a pressão lateral sobre um muro, como diferem o estado em repouso e os estados ativo e passivo de Rankine e de Coulomb, e como a coesão, a água e a sobrecarga entram neles.

Repouso, ativo e passivo

A tensão horizontal no solo é uma fração K da tensão vertical efetiva. Um muro que não se desloca a mantém em repouso; um que cede, afastando-se do solo, a deixa cair até o estado ativo, o mínimo que o solo suporta antes de romper; um empurrado contra o solo a eleva ao estado passivo, o máximo. Pouco deslocamento leva ao estado ativo, cerca de 0,1–0,4% da altura em areia; o passivo exige dez vezes mais ou além.

\sigma'_h = K\, \sigma'_v

σ′_v: tensão vertical efetiva, γz + q acima do nível d'água

Repouso

Jaky (1944) relacionou o K₀ ao ângulo de atrito de um solo normalmente adensado. O pré-adensamento o eleva, como mostraram Mayne e Kulhawy (1982), e a EN 1997-1 o eleva também sob um aterro que sobe a partir do muro.

K_0 = (1 - \sen\phi')\, \mathrm{OCR}^{\sen\phi'} (1 + \sen\beta)

Usado em muros que não podem ceder: paredes de subsolo, muros escorados ou muito rígidos

Rankine

Rankine (1857) considerou o solo atrás de um tardoz vertical e liso inteiramente em ruptura, com a tensão em qualquer plano vertical dada pelo círculo de Mohr na ruptura. Em aterro horizontal:

\sigma'_a = K_a \sigma'_v - 2c' \sqrt{K_a}

K_a = tg²(45° − φ′/2) · K_p = tg²(45° + φ′/2) = 1/K_a

A coesão traciona o topo da zona ativa até z_c, onde se abre uma fenda; o empuxo é tomado da tensão abaixo dela. Num aterro inclinado de β, a tensão no plano vertical é paralela ao terreno:

K_{a,p} = \cos\beta\, \frac{\cos\beta \mp \sqrt{\cos^2\beta - \cos^2\phi'}}{\cos\beta \pm \sqrt{\cos^2\beta - \cos^2\phi'}}

Para c′ > 0 e aterro inclinado, Mazindrani e Ganjali (1997) deduziram a tensão, que em terreno horizontal recai nas formas acima

Coulomb

Coulomb (1776) estudou uma cunha de solo deslizando num plano pelo pé do muro, com atrito no tardoz. O empuxo ativo é o maior que alguma cunha exige; o passivo, o menor. Para tardoz a θ da vertical, atrito muro-solo δ e aterro a β:

K_a = \frac{\cos^2(\phi' - \theta)}{\cos^2\theta \cos(\delta + \theta) \left[1 + \sqrt{\dfrac{\sen(\delta + \phi') \sen(\phi' - \beta)}{\cos(\delta + \theta) \cos(\theta - \beta)}}\right]^2}

E_a = ½K_aγH², a δ da normal ao tardoz

K_p = \frac{\cos^2(\phi' + \theta)}{\cos^2\theta \cos(\delta - \theta) \left[1 - \sqrt{\dfrac{\sen(\phi' + \delta) \sen(\phi' + \beta)}{\cos(\delta - \theta) \cos(\theta - \beta)}}\right]^2}

E_p = ½K_pγH²

Com θ = δ = β = 0, os K_a e K_p de Coulomb são os de Rankine. A cunha plana superestima o empuxo passivo quando δ passa de cerca de φ′/3, pois a superfície real é curva; uma solução em espiral logarítmica ou o valor de Rankine são então mais seguros.

Água e sobrecarga

Abaixo do nível d'água, os coeficientes atuam sobre a tensão submersa, γ′ = γ_sat − γ_w, e a pressão d'água u = γ_w(z − D_w) é somada por inteiro: a água não tem K.
Uma sobrecarga uniforme q soma q a σ′_v em toda profundidade, um retângulo Kq no diagrama de pressões. No tardoz inclinado de Coulomb, ela entra como Kq cos θ cos β / cos(θ − β).

Empuxo e linha de ação

E_h = \int \sigma_h \, dz

Por metro de muro; ȳ é H/3 para um triângulo, H/2 para um retângulo

O empuxo horizontal e a sua altura acima da base dão o momento de tombamento do muro; a componente vertical, do atrito muro-solo e do tardoz ou terreno inclinado, ajuda a estabilizá-lo.

Referências

Coulomb, C. A. Essai sur une application des règles de maximis et minimis à quelques problèmes de statique relatifs à l'architecture. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, v. 7, p. 343–382, 1776.
Rankine, W. J. M. On the stability of loose earth. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, v. 147, p. 9–27, 1857.
Jaky, J. The coefficient of earth pressure at rest. Journal of the Society of Hungarian Architects and Engineers, v. 78, n. 22, p. 355–358, 1944.
Mayne, P. W.; Kulhawy, F. H. K0–OCR relationships in soil. Journal of the Geotechnical Engineering Division, ASCE, v. 108, n. GT6, p. 851–872, 1982.
Mazindrani, Z. H.; Ganjali, M. H. Lateral earth pressure problem of cohesive backfill with inclined surface. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE, v. 123, n. 2, p. 110–112, 1997.
EN 1997-1. Eurocode 7: Geotechnical design – Part 1: General rules. Brussels: CEN, 2004.
Das, B. M.; Sobhan, K. Principles of Geotechnical Engineering. 9th ed. Boston: Cengage, 2018.

Informe o muro — altura, inclinação do tardoz e atrito muro-solo — e a inclinação, a sobrecarga, o c′, o φ′ e os pesos específicos do aterro para obter o empuxo em repouso, ativo e passivo por Rankine e Coulomb, com a resultante de cada estado e o seu ponto de aplicação.

Muro

Altura, HmInclinação do tardoz, θ0°Atrito muro-solo, δ20°

θ é o ângulo do tardoz com a vertical, positivo quando ele se inclina para longe do aterro, como num muro de gravidade. δ costuma ser tomado como ⅔φ′.

Aterro

φ′30°Inclinação, β0°Sobrecarga, qkPac′kPaγ (acima do NA)kN/m³γ_sat (abaixo do NA)kN/m³Nível d'água, D_wmγ_wkN/m³OCR

D_w é medido a partir do topo do muro; deixe em branco para aterro seco. O OCR só entra no K₀.

Rankine e o repouso consideram o tardoz vertical e liso; θ e δ só entram em Coulomb.

Com δ acima de cerca de φ′/3, a cunha plana de Coulomb superestima o empuxo passivo; o de Rankine é o valor mais seguro.

Aterro homogêneo; os coeficientes atuam sobre a tensão vertical efetiva, e a pressão da água é somada a ela, hidrostática abaixo do nível d'água.
O repouso usa o K₀ = 1 − sen φ′ de Jaky, multiplicado por OCR^{sen φ′} (Mayne e Kulhawy) e por 1 + sen β para aterro inclinado (EN 1997-1), atuando na horizontal.
Rankine considera o tardoz vertical e liso, com a tensão paralela ao terreno; o c′ entra segundo Mazindrani e Ganjali, e a tração ativa acima da fenda é desconsiderada no empuxo.
As cunhas de Coulomb consideram aterro não coesivo, com o empuxo a δ da normal ao tardoz; a sobrecarga entra como Kq cos θ cos β / cos(θ − β).
Empuxos por metro de muro; P_v é positivo para baixo sobre o muro, e ȳ é a altura da linha de ação de P_h acima da base.
O 3D é uma ilustração: a face e a base do muro são as do muro de gravidade da seção, e os barbacãs (φ100 mm) mostram a obra como executada, mas não são dimensionados aqui.