Capacidad Portante de Cimentaciones

Teoría: Capacidad Portante

De dónde viene la ecuación de capacidad portante, en qué difieren Terzaghi, Meyerhof y Vesić, y cómo entran en ella la forma y la profundidad de la zapata, la inclinación y la excentricidad de la carga y el nivel freático.

Falla por capacidad portante

A medida que crece la carga sobre una zapata, el suelo bajo ella falla por corte a lo largo de una superficie que va desde los bordes de la zapata hacia abajo y hacia afuera hasta el terreno. En la falla por corte general, típica de la arena densa y la arcilla firme, la superficie está bien definida y el terreno se levanta junto a la zapata. En suelo suelto o blando la falla es local o por punzonamiento, con grandes asentamientos antes de un pico claro.

Prandtl (1921) describió el mecanismo para una zapata corrida: una cuña activa empujada hacia abajo bajo la zapata, un abanico radial limitado por una espiral logarítmica y una cuña pasiva de Rankine empujada hacia arriba a cada lado. La capacidad portante es la presión que lleva este mecanismo a la falla.

Ecuación de Terzaghi

Terzaghi (1943) dividió la capacidad portante última en tres términos — la cohesión del suelo, la sobrecarga junto a la zapata (tratada como q = γD_f, sin que el suelo por encima de la base aporte resistencia) y el peso del suelo en la zona de falla —, cada uno con un factor que depende solo de φ′.

q_u = c' N_c\, s_c + q N_q + \tfrac{1}{2} \gamma B N_\gamma\, s_\gamma

Corrida: s_c = s_γ = 1 · cuadrada: s_c = 1,3, s_γ = 0,8 · circular: s_c = 1,3, s_γ = 0,6 (B el diámetro)

N_q = \frac{e^{2\left(3\pi/4 - \phi'/2\right) \tan\phi'}}{2 \cos^2\left(45^\circ + \phi'/2\right)}

N_γ no tiene forma cerrada; Das usa los valores de Kumbhojkar (1993). Para φ′ = 0, N_c = 5,7

Para corte local, Terzaghi sugirió la misma ecuación con c′ y tan φ′ reducidos a dos tercios.

Meyerhof y la ecuación general

Meyerhof (1963) tomó los N_c y N_q de Prandtl y Reissner, con una cuña de zapata rugosa a 45° + φ′/2, y añadió factores para la forma de la zapata, su profundidad (contando la resistencia al corte del suelo por encima de la base) y la inclinación de la carga.

q_u = c' N_c\, s_c d_c i_c + q N_q\, s_q d_q i_q + \tfrac{1}{2} \gamma B' N_\gamma\, s_\gamma d_\gamma i_\gamma

s: forma · d: profundidad · i: factores de inclinación

N_q = e^{\pi \tan\phi'} \tan^2\left(45^\circ + \frac{\phi'}{2}\right)

Prandtl (1921) y Reissner (1924). Para φ′ = 0, N_c = π + 2 = 5,14

	Meyerhof (1963)	Vesić / ecuación general
N_γ	(N_q − 1) tan(1,4φ′)	2(N_q + 1) tan φ′
s_c	1 + 0,2K_p B/L	1 + (N_q/N_c)(B/L)
s_q	1 + 0,1K_p B/L	1 + (B/L) tan φ′
s_γ	1 + 0,1K_p B/L	1 − 0,4 B/L
d_c	1 + 0,2√K_p D_f/B	1 + 0,4 D_f/B
d_q	1 + 0,1√K_p D_f/B	1 + 2 tan φ′(1 − sin φ′)² D_f/B
d_γ	1 + 0,1√K_p D_f/B	1
i_c = i_q	(1 − β/90°)²	(1 − β/90°)²
i_γ	(1 − β/φ′)²	(1 − β/φ′)²

K_p = tan²(45° + φ′/2). Los s_q, s_γ, d_q y d_γ de Meyerhof valen a partir de φ′ = 10°; por debajo se toman como 1. En la ecuación general, los factores de profundidad de Hansen sustituyen D_f/B por arctan(D_f/B) (en radianes) cuando D_f > B. Los N_c y N_q de ambos son iguales; difieren en N_γ, mayor el de Vesić, y en los factores.

Nivel freático

Por encima de la base (D_w ≤ D_f): q = γD_w + γ′(D_f − D_w), y el término de γ toma el sumergido γ′ = γ_sat − γ_w.
Dentro de B bajo la base (D_f < D_w ≤ D_f + B): q = γD_f, y el término de γ toma γ̄ = γ′ + (d/B)(γ − γ′), siendo d = D_w − D_f.
Más profundo que D_f + B: el nivel freático no afecta a la capacidad portante.

Cargas excéntricas

Una carga a una excentricidad e del centro se toma, según Meyerhof (1953), como centrada en una zapata efectiva de ancho B′ = B − 2e. El término de γ y los factores de forma usan B′, y la carga que puede soportar la zapata es q_u por el área efectiva A′ = B′L.

Capacidad portante admisible

q_{\mathrm{adm}} = \frac{q_u}{\mathrm{FS}}

FS: factor de seguridad, normalmente 3 para cimentaciones superficiales

El valor admisible también debe mantener el asentamiento dentro de límites, lo que a menudo gobierna en zapatas anchas y en arcillas blandas.

Referencias

Terzaghi, K. Theoretical Soil Mechanics. New York: Wiley, 1943.
Meyerhof, G. G. Some recent research on the bearing capacity of foundations. Canadian Geotechnical Journal, v. 1, n. 1, p. 16–26, 1963.
Vesić, A. S. Analysis of ultimate loads of shallow foundations. Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, ASCE, v. 99, n. SM1, p. 45–73, 1973.
Hansen, J. B. A revised and extended formula for bearing capacity. Danish Geotechnical Institute, Bulletin 28, 1970.
Kumbhojkar, A. S. Numerical evaluation of Terzaghi's Nγ. Journal of Geotechnical Engineering, ASCE, v. 119, n. 3, p. 598–607, 1993.
Das, B. M.; Sobhan, K. Principles of Geotechnical Engineering. 9.ª ed. Boston: Cengage, 2018.

Introduce la zapata — forma, ancho, profundidad e inclinación y excentricidad de la carga — y los parámetros c′, φ′ y pesos unitarios del suelo para obtener la capacidad portante última y admisible por Terzaghi, Meyerhof y Vesić, lado a lado, con los factores de cada método.

q_adm Terzaghi: 415 kPa
q_adm Meyerhof: 519 kPa
q_adm Vesić: 526 kPa

Zapata

Forma

Ancho, BmProfundidad, D_fmInclinación, β0°Excentricidad, em

β es el ángulo de la carga con la vertical; e se mide según B. Las zapatas circulares llevan cargas centradas.

Suelo

c′kPaφ′30°γ (sobre el NF)kN/m³γ_sat (bajo el NF)kN/m³Nivel freático, D_wmγ_wkN/m³

Deja el nivel freático en blanco cuando está a más de D_f + B; se mide desde la superficie del terreno.

Diseño

Falla de Terzaghi

FS es el factor de seguridad sobre q_u. El corte local, para suelos sueltos o blandos, toma ⅔c′ y tan φ′ reducida a ⅔ en la ecuación de Terzaghi.

Suelo homogéneo bajo la zapata; el nivel freático sigue los tres casos de Das.
El N_γ de Terzaghi es el de Kumbhojkar (1993), tal como lo tabula Das. Sus factores de forma se extienden a rectángulos linealmente en B/L, y no tiene factores de profundidad ni de inclinación.
El método de Vesić es la ecuación general como en Das: N_γ de Vesić, factores de forma de De Beer, de profundidad de Hansen y de inclinación de Meyerhof.
Una carga excéntrica se soporta sobre el ancho efectivo de Meyerhof B′ = B − 2e, usado en el término de γ, los factores de forma y el área; los factores de profundidad usan B.
q_adm = q_u/FS sobre la capacidad portante bruta.